A axiomática de Peano
Giuseppe PeanoNo tempo em que no curso dos liceus se fazia o estudo da designada "Aritmética Racional" havia, como um dos possíveis pontos de partida, um conjunto de enunciados que sempre me fascinou e que era a chamada "axiomática de Peano" [1]. Eram, se bem me recordo, os seguintes:
1. Zero integra-se no conjunto dos números naturais (por vezes enunciado como "Zero é um número natural").
3. Nenhum número natural têm zero como sucessor.
4. Se dois números naturais são diferentes, então os respectivos sucessores também serão diferentes (o que por vezes se enuncia como: "Se dois números naturais têm o mesmo sucessor, então são iguais")
5. Se uma propriedade for verificada para Zero e se, assumindo que é verificada para um número natural N, se puder demonstrar que também se mantém válida para o sucessor de N (ou seja, N'=N+1), então essa propriedade é válida para todos os números naturais.
O enunciador desta axiomática, Giuseppe Peano (1858 - 1932), foi um notável e prolífico matemático italiano que se salientou nos campos da lógica matemática e que deixou uma marcante obra de conteúdo lógico e filosófico. A procura da exactidão e de uma formulação eminentemente lógica levou-o ao desenvolvimento da lógica simbólica, com criação e proposta de uma notação própria, e a debruçar-se sobre a necessidade de uma língua universal (Interlíngua ou Latino sine flexione), diferente do Esperanto, que servisse para melhorar a comunicação em ciência. Outro aspecto dessa sua preocupação encontra-se na questão e debate do que possa ser uma definição correcta em matemática, questão que abordou em 1900 numa sua comunicação sob o expressivo (e socrático) título de "Como definir uma definição?"
Os axiomas acima referidos, juntamente com outros sobre a igualdade, foram expostos numa obra de 1889, "Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita" - constituindo o 5º e último supra enunciado a base do processo demonstrativo designado como indução matemática. Como judiciosamente nota um dos artigos que sobre o assunto podem ser consultados [2] " observe-se que o aqui chamado de "Zero" não é necessariamente o que normalmente consideramos como número zero. Um modelo para os axiomas de Peano é o que conhecemos por conjunto dos números naturais {0,1,2,3,4,5,...} com a operação de sucessão definida como N' = N + 1, mas a definição acima é genérica e pode ser aplicada a outros conjuntos (por exemplo, o conjunto das potências de 10 {1, 10, 100, ...} com "0" = 1 e o sucessor N' = 10 N)".
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5. Se uma propriedade for verificada para Zero e se, assumindo que é verificada para um número natural N, se puder demonstrar que também se mantém válida para o sucessor de N (ou seja, N'=N+1), então essa propriedade é válida para todos os números naturais.
O enunciador desta axiomática, Giuseppe Peano (1858 - 1932), foi um notável e prolífico matemático italiano que se salientou nos campos da lógica matemática e que deixou uma marcante obra de conteúdo lógico e filosófico. A procura da exactidão e de uma formulação eminentemente lógica levou-o ao desenvolvimento da lógica simbólica, com criação e proposta de uma notação própria, e a debruçar-se sobre a necessidade de uma língua universal (Interlíngua ou Latino sine flexione), diferente do Esperanto, que servisse para melhorar a comunicação em ciência. Outro aspecto dessa sua preocupação encontra-se na questão e debate do que possa ser uma definição correcta em matemática, questão que abordou em 1900 numa sua comunicação sob o expressivo (e socrático) título de "Como definir uma definição?"
Os axiomas acima referidos, juntamente com outros sobre a igualdade, foram expostos numa obra de 1889, "Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita" - constituindo o 5º e último supra enunciado a base do processo demonstrativo designado como indução matemática. Como judiciosamente nota um dos artigos que sobre o assunto podem ser consultados [2] " observe-se que o aqui chamado de "Zero" não é necessariamente o que normalmente consideramos como número zero. Um modelo para os axiomas de Peano é o que conhecemos por conjunto dos números naturais {0,1,2,3,4,5,...} com a operação de sucessão definida como N' = N + 1, mas a definição acima é genérica e pode ser aplicada a outros conjuntos (por exemplo, o conjunto das potências de 10 {1, 10, 100, ...} com "0" = 1 e o sucessor N' = 10 N)".
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[1] Postagem feita com preito de admiração ao Dr. António Augusto Lopes, Professor de Matemática no 6º e 7º Ano (respectivamente 1952-1953 e 1953-1954) do Liceu Alexandre Herculano no Porto e que, quando os excelentes Professores constituiam a regra, magistralmente nos apresentou a Aritmética Racional... e, com essa apresentação, precisamente desenvolveu a "axiomática de Peano" e o "método indutivo" como "pedras-bases" para esse ramo da Matemática. Esta postagem foi igualmente colocada nesta data e no blogue pessoal do seu autor, em www.sai-tedaqui.blogspot.com. Simboliza também o jantar mensal dos "alexandrinos" que estão em Lisboa, hoje realizado.
[2] Vide, entre outros, http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/peano.html. Quanto a uma detalhada biografia de Giuseppe Peano, desde a sua origem modesta até ao papel relevante que, já professor da Universidade de Turim, viria ter no diálogo matemático do seu tempo, vide, também entre outros, o desenvolvido artigo http://en.wikipedia.org/wiki/Giuseppe_Peano.
[2] Vide, entre outros, http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/peano.html. Quanto a uma detalhada biografia de Giuseppe Peano, desde a sua origem modesta até ao papel relevante que, já professor da Universidade de Turim, viria ter no diálogo matemático do seu tempo, vide, também entre outros, o desenvolvido artigo http://en.wikipedia.org/wiki/Giuseppe_Peano.
Postado por ZM
publicada por LAH1954 | 23:58
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